Representaciones Simbolicas y Algoritmos-Bneed Matamoros,Tamaulipas.: agosto 2014

División de polinomios.

La división de polinomios también se presenta en diversas formas, a continuación veremos la división de monomio entre monomio y división de un polinomio entre un monomio.

Para efectuar una división algebraica hay que tener en cuenta los signos, los exponentes y los coeficientes de las cantidades que se dividen, si tienes alguna duda regresa a la unidad 1 del libro Representaciones Simbólicas y Algoritmos.

Recuerda la ley de los signos

(+)÷(+)=+

(–)÷(–)=+

(+)÷(–)=–

(–)÷(+)=–

DIVISIÓN DE UN MONOMIO POR OTRO

Para dividir dos monomios puedes seguir estos pasos

1 El coeficiente numérico del cociente se obtiene dividiendo los coeficientes numéricos.

2 La parte literal se obtiene letra a letra restando al exponente del dividendo el correspondiente del divisor. Si el exponente de alguna letra del dividendo es menor que el correspondiente del divisor resultaría un exponente negativo y por tanto no seria un monomio.

Ejemplo

Si queremos dividir el monomio 6 exis elevado a la cuarta potencia entre 2 exis.

Escrito en tinta quedaría de la siguiente forma 6x ⁴/2x=3x ³

Aplicando el paso 1, Que nos dice el coeficiente numérico del cociente se obtiene dividiendo los coeficientes numéricos.

Dividimos los coeficientes numéricos en este caso 6 entre 2 igual a 3

Siguiendo el paso 2.-, obtendremos la parte literal letra a letra , restando al exponente del dividendo el exponente del divisor en este caso exisala cuarta potencia menos exis igual a exis al cubo.

Si tienes dudas en este paso retoma la propiedad del cociente de dos potencias vistos en la unidad 1.

Pon mucha atención y recuerda que cuando la literal se encuentra elevada a la potencia 1 no se anota, solo se representa con la letra.

Es decir exis es igual a decir x ¹, tomamosen cuenta su exponente 1, pero no se escribe.

Pasos para efectuar una división de polinomios son:

1. Colocamos ordenados el dividendo y el divisor. Si falta algún grado, dejamos el hueco.

2. Dividimos el monomio de mayor grado del dividendo entre el de mayor grado del divisor. Dividimos coeficientes y restamos ex ponentes

3. Multiplicamos el monomio del cociente por cada uno de los términos del divisor. Cambiamos su signo y lo colocamos debajo del lugar adecuado para sumar después.

4. Continuamos con los pasos anteriores hasta que el grado de resto sea menor que el grado del divisor.

Presento a continuación una división de polinomio entre monomio, se marcaran cada uno de los pasos para ejemplificar el procedimiento.

EJEMPLO

DIVIDE 5 b ² -8 b+3 (dividendo) entre b – 5 (divisor)

Para realizarlo nos apoyamos en los pasos que son similares a los de la división normal.

1.- Colocamos ordenados el dividendo y el divisor. Si falta algún grado, dejamos el hueco.

En este ejemplo nuestros términos ya están ordenados, si tienes dudad imaginemos tener columnas de mayor a menor, donde primero están las literales con mayor exponente y después los números.

Mayor a menor

X⁵	X⁴	X³	X²	X	NÚMEROS

Paso 2. Dividimos el monomio de mayor grado del dividendo en este caso 5 b² entre el de mayor grado del divisor, b.

5b ² entre b [dividimos coeficientes y restamos exponentes] =5 (b ²-b)= 5b

Paso 3.multiplicamos el monomio del cociente, 5b, por cada uno de los del divisor, recuerda que el divisor es b-5.

Entonces multiplicamos primero

5b por b igual a 5b cuadrada pero al cambiarle el signo pasa como -5b ^cuadrada

Luego multiplico 5b por -5 igual a -25 b, pero al cambiarle el signo pasa como + 25 b.

5 b ² -5 b ²	- 8 b +25 b
0	+17 b

Siguiendo la instrucción que nos da el paso 3, acomodamos estos resultados ya con el signo cambiado en el lugar adecuado para sumar después.

Hasta aquí nuestro cociente es 5b.

Si observas veraz que el procedimiento es igual al de la división, aquí el objetivo es ir eliminando uno a uno los términos del dividendo, para esto nos apoyamos en los signos.

Paso 4.Continuamos repitiendo los pasos anteriores hasta que el grado del resto sea menor que el grado del divisor.

Es decir regresamos al paso 1, para poder continuar bajamos el siguiente termino en este ejemplo es +3.

Ahora tenemos + 17 b +3 y debemos encontrar un numero que divida al monomio de mayor grado del dividendo en este caso +17 b entre b-5.Ten presente que buscamos eliminar el +17 b.

Entonces multiplicamos 17 por b que es igual a 17b, pero al cambiarle el signo nos queda - 17 b, esto nos ayuda a eliminar + 17 b, continuando con la instrucción multiplicamos el +17 por -5, el resultado que nos da es -85 , pero al cambiarle el signo nos quedaría +85, buscamos su acomodo donde corresponda y realizamos la operación.

+ 17 b -17 b igual a cero se elimina

+3+85 igual a 88 en este caso al no tener mas términos aquí termina la división de polinomios

Abajo puedes observar como quedaría utilizando las columnas.

			b-2
			5b+17
5b ² -5 b²	- 8b +25 b	+ 3 + 3 +85
0	+17b -17 b	+ 3 + 3 +85
0	0	+88

ENTONCES EL RESULTADO DE DIVIDIR

5 b ² -8 b+3 entre b – 5

Nos da un cociente de 5b+17

con un residuo de +88

Multiplicacion de polinomios

Para multiplicar dos o más monomios se multiplican los coeficientes numéricos y

las literales aplicando las reglas de los signos y las leyes de los exponentes.

Como recomendación puedes seguir los siguientes pasos y observa los siguientes videos tomados de you tube donde realizan multiplicaciones con casos similares a los presentados en el modulo de Representaciones simbólicas y Algoritmos.

1.Al realizar una multiplicación de polinomios lleva un orden puedes como en el video utilizar flechas para no perderte durante el procedimiento.

2.Recuerda que utilizando las propiedades de los exponentes nos dice que al multiplicar exponentes estos se suman.

3.Anota tus operaciones en orden. Pon especial atención en que los términos llevan un orden de mayor a menor es decir iniciamos con el exponente mayor, ejemplo exis a la cuarta, luego exis cubica, después exis cuadrada, luego las exis solas o solo la letra y al final los números.

ES IMPORTANTE QUE A LA PAR DE LA ASESORIA REALIZES LOS EJERCICIOS DEL MODULO APOYANDOTE EN OTRAS FUENTES Y HACIENDO USO DE TUS CONOCIMIENTOS DE LAS TICS.

Estos videos son tomados de you tube y realizados por el Profesor Julio Ríos, de Colombia su canal esta en you tube pueden suscribirse y visitar sus videos compartidos. https://www.youtube.com/user/julioprofenet

Resta de Polinomios

Para restar polinomios al igual que en la suma de polinomios podemos realizarlo en forma horizontal o en forma de columna.

Para hacerlo, primero debemos anotar el minuendo y, a continuación escribiremos el sustraendo cambiándole el signo a sus términos; después reduciremos términos semejantes.

Ejemplo

Queremos restar al polinomio a cuadrada menos 3 a -5 be el polinomio -8 a cuadrada – 3 a igual a:

En tinta quedaría así: a²-3 a-5b restándole - 8 a²-3a=

El primer paso es cambiar los signos al sustraendo, entonces la resta de polinomios quedaría así:

a cuadrada menos 3 a menos 5 be menos el polinomio 8 a cuadrada + 3 be igual a:

En tinta quedaría así: a²-3 a-5b restándole 8 a²+3a=

Ahora reducimos términos semejantes realizando las operaciones indicadas y el resultado que obtenemos es: 9 acuadrada menos 5 be

A continuación te presentamos una opción de video donde se trabajan restas de polinomios, en la web tienes muchas opciones de consulta, es importante que consultes varias fuentes de un tema para despejar dudas y que realices los ejercicios marcados en el módulo para dominar el tema.

Este video fue elaborado por esta disponible en you tube ,además de un canal creado por el y su equipo de trabajo que contiene videos sobre matemáticas muy interesantes y con explicaciones muy detalladas.

Suma de polinomios

Para sumar dos o más polinomios simplemente se unen con signo de suma o adición y se reducen los términos semejantes.

Recuerda que términos semejantes son aquellos con la misma parte literal es decir mismas letras y exponentes.

Suelen colocarse uno debajo del otro, de modo que los términos semejantes queden en columna.

Los pasos para resolver una suma de polinomios son dos:

Número 1.debemos ordenas los términos semejantes en orden descendente

Número 2.realizar las operaciones con términos semejantes (que tengan las misma parte literal y exponentes).

Ejemplo

Sumar los siguientes polinomios

(7 y ²- 6 y + 9) + (-8 y ² -2)

Primer polinomio siete ye cuadrada menos seis ye más nueve

Mas el segundo polinomio que es menos ocho ye cuadrada menos 2

Al ordenarlo y colocarlo uno debajo del otro como en una suma nos quedaría así.

                        7 y ² + - 6 y + 9
                   + -8 y ² +-2
                       - y 2 +   -6 y + 7
Al aplicar la ley de los signos el resultado nos quedaría así:- y ² - 6 y + 7 (menos siete ye cuadrada menos seis ye más siete).

Operaciones con polinomios

Un polinomio es una expresión algebraica constituida por un número finito de términos algebraicos; como has visto, cada uno ellos están compuesto por números y letras relacionadas mediante productos y potencias con números naturales.

En otras palabras un polinomio está hecho de:

Constantes (números)

Variables (letras)

Exponentes (potencias o índices que solo puede ser positivos).

Que se pueden combinar usando: sumas, restas y multiplicaciones... ¡pero no divisiones!

Ejemplos de polinomios

5a + b CINCO A MAS BE.

3x³ - 2x + 5 TRES EXIS ELEVADA A LA TERCERA POTENCIA MENOS DOS EXIS MAS 5.

2x - 5y DOS EXIS MENOS CINCO YE.

9x² - 8 NUEVE EXIS AL CUADRADO MENOS OCHO.

X ² EXIS AL CUADRADO.

5x⁴ - 3x³ + x² - x + 5 CINCO EXIS ELEVADA A LA CUARTA POTENCIA MENOS TRES EXIS AL CUBO MAS EXIS AL CUADRADO MENOS EXIS MAS CINCO.

El grado de un polinomio con una sola variable es el mayor exponente de esa variable.

Ejemplo:

4 x³ –x+3 CUATRO EXIS AL CUBO MENOS EXIS MAS TRES

El grado es 3 (el mayor exponente de x)

Existen diversos tipos de polinomios:

Monomios: es un polinomio que consta de un solo término

Binomios: es un polinomio que consta de dos términos.

Trinomios: consta de tres términos

El resto de los polinomios se caracterizan por el número de términos que lo componen; así existen polinomios de cuatro términos, de cinco términos, etcétera.

Con los polinomios se pueden realizar las mismas operaciones que son con los números reales: suma, resta, multiplicación y división.

RECUERDA

Al trabajar con polinomios es importante ordenar los términos a partir de los exponentes en sus variables (letras) de mayor a menor en orden descendente.

Es decir si queremos ordenar los siguientes términos este sería el orden,

Tenemos x +2x⁴- 5x³

Observamos que todos los términos tienen la misma variable pero diferentes exponentes, x, x⁴ y x³. Al ordenarlos de mayor a menor el orden quedaría

2x⁴-5x³+x Dos equis a la cuarta potencia menos cinco exis al cubo más exis

Nota: cuando el exponente o coeficiente numérico es uno no lo escribimos, es decir si a letra está sola se sobreentiende que tiene el valor de 1.

Expresiones algebraicas

A las expresiones que involucran operaciones con números desconocidos se les denomina expresiones algebraicas. Cuando éstas llevan el signo que denota Igualdad se les conoce como ecuaciones y son éstas las que permiten solucionar problemas.

Para resolver ecuaciones es básico saber manipular de manera adecuada cualquier tipo de expresiones algebraicas. En ese sentido, habría que tener claro que se puede hacer y que no se puede hacer al trabajar expresiones algebraicas complejas.

Una expresión algebraica es, pues, un conjunto de números y letras que se combinan con los signos de las operaciones aritméticas, tal y como se muestra en los siguientes ejemplos:

Cuatro exis al cuadrado menos tres ye

4x² - 3y

Cinco a al cubo por be más tres a más dos be

5a³b + 3a + 2b

Dos exis mas ye menos siete entre exis a la quinta

2x + y -7/x⁵

Una expresión algebraica se forma a partir de términos algebraicos separados entre sí por los signos de + y –.

En el primero de los ejemplos 4x² - 3y se identifican dos términos algebraicos es decir primer término cuatro exis al cuadrado y el segundo menos tres ye.

En el segundo ejemplo que dice Cinco a al cubo por be más tres a más dos be se encuentran tres términos.

Y en el tercer ejemplo, Dos exis mas ye menos siete entre exis a la quinta tenemos tres términos.

A un término algebraico lo conforman un coeficiente numérico y una parte literal.

El coeficiente numérico es la cantidad numérica que se encuentra a la izquierda de la parte literal, y que indica la cantidad de veces que ésta se debe sumar o restar dependiendo del signo que tenga.

En la expresión 5 x²y cinco exis cuadrada ye

el coeficiente numérico es 5

Y la Parte literal es x cuadrada y

Otros ejemplos

Ejemplo en la expresión 7x⁴ o siete exis a la cuarta potencia se tiene el coeficiente numérico 7 y ello quiere decir que exis ala cuarta potencia se suma siete veces.

En el termino – 3 n², o menos tres ene al cuadrado, el coeficiente numérico es menos tres y me indica que debo restar la parte literal tres veces. Es decir –n²-n²-n².

Otro ejemplo seria el termino a^5, es decir a elevada a la quinta potencia, en este termino no aparece numero, el coeficiente numérico es 1.por lo que indica que el termino se suma una vez.

El grado de un término algebraico es la suma de los exponentes de los factores de la parte literal. Por ejemplo, 5x es un término de primer grado, o de grado 1.

Recuerda, cuando el exponente o el coeficiente numérico es 1,no lo escribimos. Por lo tanto x significa que se suma una vez (porque su coeficiente numérico es 1) y que se multiplica por si mismo una vez (porque su exponente es 1).la suma de los exponentes del termino es 1.

En la expresión -9a³b⁴ o menos nueve a elevado al cubo por be elevado a la cuarta el grado del termino es séptimo o siete. El exponente de a es 3 y el de b es 4.La suma de los exponentes es 3 + 4 = 7.

En la expresión 3 m n o tres veces el producto de eme por ene, es un término de segundo grado o de grado dos. El exponente de m es 1 y el de n, también es 1, por lo tanto, 1 +1 =2.

En la expresión ab³ o el producto de a por b al cubo es un término de cuarto grado o de grado cuatro. El exponente de a es 1 y el de b es 3, entonces 3 +1= 4.

Ultimo ejemplo la expresión 8 es un término de grado cero, con cero literales. Recuerda que x elevado a una potencia cero es igual a 1.

En una expresión algebraica se presentan términos semejantes, es decir que tienen la misma parte literal o las mismas letras tal y como lo puedes observar en los siguientes ejemplos.

Primer ejemplo. 8m²n³ (ocho veces m al cuadrado por n al cubo) y -3m²n³ (menos tres m al cuadrado por n al cubo) son términos semejantes porque ambos tienen la misma parte literal m²n³(m al cuadrado por n al cubo).

Sin embargo ,5 a³b²(cinco veces a al cubo por b cuadrada) y -7a²b³ (menos siete veces a cuadrada por b al cubo) NO SON TERMINOS SEMEJANTES PORQUE NO TIENEN LA MISMA PARTE LITERAL (el primer termino tiene dos ass y dos bes multiplicándose y el segundo termino tiene dos as y tres bes multiplicándose.

Un objetivo continuo al resolver ecuaciones para encontrar las incógnitas es tener expresiones cada vez más sencillas, y una forma de simplificar es juntar los varios términos que son iguales en uno solo. Este proceso consiste en reducir términos semejantes. En una expresión algebraica esto significa sumar o restar los coeficientes numéricos de aquellos términos con la misma parte literal.se suman o restan los coeficientes numéricos y se conserva la parte literal, ello significa juntar en uno solo todos los términos que sean del mismo tipo. Un ejemplo claro podría ser el siguiente: tengo 4 manzanas más dos peras más tres manzanas más una pera.

Lo mismo se podría expresar de forma más reducida así: tengo 7 manzanas más 3 peras

En el lenguaje algebraico hacemos lo mismo para reducir términos.

Ejemplos:

-4x-7x=-11x (menos cuatro exis menos siete exis es igual a menos once exis)

12 a³b +25 a³b=37 a³b (doce a al cubo por be mas 25 a al cubo por b es igual a 37 a al cubo por b)

5a +4b-a+3b=4a+7b (cinco a mas cuatro be menos a mas tres be es igual a 4 a mas siete be)

Videos sobre lenguaje algebraico.

Vídeo de la pagina math2me.com,que explica algunos de los ejercicios usados en la entrada lenguaje algebraico en este blog.

Vídeo tomado de youtube,que presenta una clara explicación del lenguaje algebraico.

Recuerden que se deben buscar fuentes de información utilizando las Tics.

Lenguaje algebraico

El lenguaje que usamos en operaciones aritméticas en las que sólo intervienen números se llama lenguaje numérico.

En ocasiones empleamos letras para representar cualquier número desconocido, realizamos operaciones aritméticas con ellas e, incluso, las incluimos en expresiones matemáticas para poder calcular su valor numérico.

El lenguaje que utiliza letras en combinación con números y signos, y, además, las trata como números en operaciones y propiedades, se llama lenguaje algebraico.

La parte de las Matemáticas que estudia la relación entre números, letras y signos se llama Álgebra.

En álgebra es muy importante saber expresar las proposiciones verbales comunes en proposiciones con lenguaje algebraico.

Recordemos el nombre del resultado de cada una de las cuatro operaciones fundamentales.

De la adición es suma; de la sustracción, resta o diferencia; de la multiplicación, producto; y de la división, cociente.

Algunas palabras que indican adición son:

Suma

Aumentar

Mayor que

Más

Incrementar

Más grande que

Algunas palabras que indican sustracción son:

Resta

Menos

Menor que

Diferencia

Disminuir

Perder

Algunas palabras que indican multiplicación son:

Producto

Veces

Triple

Multiplicado

Doble

Cuádruple

Algunas palabras que indican división son:

Cociente

Mitad

Dividido

Entre

Razón

Ejemplos:

Expresión verbal: Un número cualquiera la expresión algebraica seria : x

Expresión verbal La suma de dos números La expresión algebraica seria x + y

Expresión verbal La diferencia de dos números La expresión algebraica seria X-Y

Expresión verbal El producto de dos números La expresión algebraica seria XY

Expresión verbal El cociente de dos números La expresión algebraica seria x/y

Expresión verbal La suma de dos números dividida entre su diferencia La expresión algebraica seria x + y/x-y

Expresión verbal El cubo de un número La expresión algebraica seria x al cubo

Expresión verbal El doble del cubo de un número La expresión algebraica seria 2 x al cubo Expresión verbal La suma de los cuadrados de dos números La expresión algebraica seria x cuadrada + y cuadrada

Expresión verbal El cuadrado de la suma de dos números La expresión algebraica seria (x+y)²

Expresión verbal La tercera parte del cubo de un número La expresión algebraica seria x al cubo entre 3

Expresión verbal El cubo de la tercera parte de un número La expresión algebraica seria x entre 3 elevado al cubo

Reflexiona las siguientes preguntas para entender mejor el lenguaje algebraico.

¿Cuál es el número que agregado a 3 suma 8? x+3=8

¿Cuál es el número que disminuido en 5 da por diferencia 13? x-5=13

¿Cuál es el número que disminuido de 20 da por diferencia 7? 20-x=7

Las expresiones algebraicas pueden enunciarse empleando el lenguaje común y es conveniente ejercitarlo para su correcta traducción.

Ejemplos

x - y/2 puede expresarse como “la mitad de la diferencia de dos números cualquiera” o “la diferencia de dos números cualesquiera”

(x + y)³Se puede enunciar como “el cubo de la suma de dos números cualesquiera”

X 3+y 3 se puede expresar como sigue” la suma de los cubos de dos números cualesquiera”

3(x-y) puede leerse así “tres veces la diferencia de dos números cualesquiera” o “el triple de la diferencia de dos números cualesquiera”

(x + y)(x-y) se puede expresar como “el producto de la suma por la diferencia de dos números cualesquiera”