Porcentaje

 Hay un tipo de razón que utilizamos con mucha frecuencia en la vida cotidiana: el porcentaje que te encuentras en los descuentos, los impuestos, la medición de la grasa corporal, los intereses bancarios.

La razón de un número a 100 se llama porcentaje. Si dividimos un total en cien partes iguales y tomamos x cantidad de esas cien partes, a eso lo llamamos x %, que se lee “x por ciento”. Por ejemplo, si de 300 libros que hay en la biblioteca, has leído 15 libros, entonces ya leíste el 5% de los libros de la biblioteca.

             En braille el signo de porcentaje se representa con los puntos  456,356

300 entre 15  es igual a 100 entre x

 Despejando x  tenemos que es igual  a 100 por 15 entre 300 realizando las operaciones nos quedaría  1500 entre 300 igual a 5

, pues 5 es a 100 como 15 es a 300.

Para resolver problemas con porcentajes debemos encontrar el número que falta en una proporción en la que una de las razones contiene a 100. Veamos un ejemplo.

Ejemplo 1

Juan compra unos zapatos cuyo precio original era $450, sin embargo, ese día la tienda tenía un 20% de descuento en toda su mercancía. ¿Cuánto pagó por los zapatos?

Esta vez debemos calcular el 80% del precio original ya que la tienda está descontando el 20% del total del precio.

80 sobre 100 es igual a x sobre 450

X por 100 es igual  a 450 por 80 hasta aquí tenemos que 100 x es igual a 450 por 80, despejando  tenemos que x es igual a 450 por 80 entre 100 el resultado que obtenemos es que 360 es el precio que Juan pagó por los zapatos.

Ejemplo 2

Retomaremos el ejemplo de Claudia y Ángel recuerda que quería adquirir una fotocopiadora. Su costo original es de $4300, sin embargo en este momento tiene un 15% de descuento ¿Cuánto deberán pagar por ella?

 Para resolver este problema debemos usar una proporción para calcular el precio original

85 sobre 100 es igual a x sobre 4300

Despejando la x, nos quedaría que x es igual a 4300 por 85 sobre 100, el resultado que obtenemos después de realizar las operaciones es de 3655 que deberán pagar Claudia y ángel por la fotocopiadora.

ACTIVIDAD 26 DEL LIBRO REPRESENTACIONES SIMBÓLICAS Y ALGORITMOS.

Realiza los siguientes 4 ejercicios para practicar como calcular porcentajes.

1. De los 1200 estudiantes de una preparatoria, 800 han ido al museo de ciencia, ¿qué porcentaje de estudiantes ha ido al museo?

2. Una televisión cuyo precio el año pasado era $4.000 cuesta en la actualidad $200 más, ¿cuál es el porcentaje de incremento del precio?

3. Alberto gana $13,500 actualmente, ¿cuánto ganaría si su salario se incrementara un 7%?

4. ¿Cuánto costará una computadora cuyo precio regular es $16,000, si tiene un 15% de descuento?

Propiedades de una proporción

Cuando dos razones son iguales, aunque tengan diferentes números, tendremos una proporción.

Una proporción es una igualdad entre dos razones.

Por ejemplo, la razón de 7:5 es igual que la de 21:15, por lo tanto siete quintos es igual a veintiún quinceavos. La expresión anterior es una proporción y se lee “7 es a 5 como 21 a 15”

Se llama proporción a la equivalencia entre dos razones y, se expresa como:

A entre b es igual a c entre d
En una proporción, a los términos a y d se les llama extremos y a b y c, medios.
Ejemplo:

ecuación en tinta del problema del sastre

Un sastre compro 3.5 m. de tela y pago por ella N$ 245.00. Si necesita 8 m. de la misma tela, ¿cuánto deberá pagar?
Con estos datos tenemos que 3.5 metros de tela entre245 pesos es igual a 8 metros entre x,que es nuestra incógnita a despejar.
Para resolver esta ecuación tenemos que despejar x, recuerda que se realizan las operaciones contrarias,
Nos quedaría así:
 x por 3.5 metros es igual a 245 pesos por 8 metros
Debemos dejar sola a la x para poder realizar el despeje entonces el 3.5 metros que multiplicaba pasa dividiendo.
X es igual a 245 pesos por 8 metros entre 3.5
Como solución tenemos que los 8 m de tela cuestan N$ 560.00
En toda proporción, un extremo es igual al producto de los medios entre el otro extremo, y un medio es igual al producto de los extremos entre el otro medio.

ecuación en tinta ejemplo 1

Ejemplos:
Cuatro quintos es igual a trece sobre x
4x es igual a 13 por 5
X es igual a 13 por 5 entre 4
X es igual a 16.25

ecuación ejemplo 2

Otro ejemplo seria
17 sobre x es igual a 5 sobre 9
17 por 9 es igual a 5 x
17 por 9 entre 5 es igual a x
30.6 es igual a x









En el primer inciso, se busca el valor de un extremo, mientras en el segundo, el de un medio.

Simplificación de fracciones

Habíamos visto que las fracciones equivalentes son aquellas en las que tanto el numerador como el denominador de una son k veces el numerador y el denominador de la otra.

Por ejemplo:

Cuando queremos expresar la razón entre dos cantidades, debemos hacerlo a partir de su forma más simplificada, es decir, aquella en la que el numerador y el denominador son lo más pequeños posible.

Entonces, simplificar una fracción es transformarla en una fracción equivalente más simple. Para hacerlo, dividimos numerador y denominador por un mismo número, por ejemplo, para

24/20 debemos dividir tanto el numerador como el denominador entre 4, que es el divisor más grande en común, o el MCD (24, 20).

Veinticuatro veinteavos se simplificaría dividiendo el numerador entre cuatro es decir 24 entre 4 y como denominador  tendríamos veinte entre cuatro obteniendo la fracción equivalente de seis quintos.

RAZONES Y PROPORCIONES

¿Qué es un porcentaje? Un porcentaje es un tipo de proporción, entonces, ¿qué es una proporción?, una proporción se forma con dos razones, y ¿qué es una razón?...

A continuación aprenderás los conceptos de razón, proporción y porcentaje.

Una razón entre dos cantidades es una comparación entre éstas con el fin de determinar cuántas veces cabe una en la otra, y se obtiene al dividir una cantidad entre la otra.

En otras palabras una razón es la comparación por cociente (resultado de una división) de dos números. Este cociente se interpreta como el número de veces que uno de ellos es mayor que el otro, esto se expresa como:
A entre b es igual a e entre d
a / b =e/d
En una razón, al término a se le llama antecedente y al termino b, consecuente.

 Cuando hablamos de razón se    representa en tinta con dos puntos:

Ejemplo
Una persona, al comprar una caja que contiene 30 manzanas, observa que seis salieron mallugadas; la razón que se obtiene es: 6 manzanas mallugadas entre 30 que es el total de manzanas
Simplificando la razón, se tiene:
6/30=1/5
6 entre 30 es igual a 1 entre 5   lo cual se interpreta como: una manzana de cada cinco esta mallugada.
 Ejemplo 2
Si en un salón de clase hay 12 hombres y 18 mujeres, entonces la razón de hombres a mujeres es:

12/18 =2/3

 Esto significa que por cada 2 hombres hay 3 mujeres. También se escribe de la siguiente manera:

2:3 y se lee “la razón de hombres a mujeres es 2 a 3”.

Si observas los ejemplos notaras que solo estamos simplificando la fracción. En una razón el resultado se presenta en su forma más simple, para eso se requiere saber simplificar fracciones.

Propiedades de la igualdad

 

1.-PROPIEDAD DE LA SUMA

Si a-b-c son números reales y a es igual a b, entonces a más c es igual a b más c.

Es decir puedo sumar el mismo número a los lados de la igualdad y seguirá siendo una igualdad.

Sumar una cantidad de ambos lados nos permite pasar números de un lado a otro a partir de sumar los inversos aditivos de un numero.

 

Ejemplo

X menos 4 igual a 7

x- 4 + 4=7+4

x+0=11

x=11

 

Comprobación

Sustituyendo valor de x

x menos 4 igual a 7

Sustituyendo x por 11 nos queda 11 menos 4 es igual a 7

Es decir 7 es igual a 7

 

2.-PROPIEDAD DE LA MULTIPLICACIÓN

Si a, b, c son números reales. Tales que a=b; entonces a por c es igual que b por c

Es decir puedo multiplicar los dos lados de la igualdad por el mismo número sin afectar la igualdad.

 

Ejemplo

4 es igual a 3 mas 1

Si multiplico los dos lados de la igualdad por el mismo número en este caso elijó el 5 al azar quedaría

5 por 4 es igual a 5 por 3 mas 1

Es decir 20 es igual a 20

 

3.-PROPIEDADES DE LA DIVISIÓN

Si a, b, c son números reales cualesquiera tales que a es igual a b y c no es igual a cero entonces  a entre c es igual a b entre c.

 

Ejemplo

3 mas 2 es igual a 4 más 1, los dos lados son iguales a 5; si dividimos entre dos ambos lados serán iguales a 2.5, significa que la igualdad se mantiene.

 

4.-PROPIEDADES DE LA POTENCIA

Si a y b son números reales cualesquiera tales que a es igual a b entonces a elevado a la potencia n es igual  que b elevado a la potencia n.

 

Ejemplo

3 mas 2 es igual a 4 mas 1

3 mas 2 elevado al cuadrado es igual que 4 mas 1 elevado al cuadrado

5 al cuadrado es igual a 5 al cuadrado

Resolviendo la potencia tenemos que 25 es igual a 25.

 

5.-PROPIEDAD DE LA RAÍZ

Si a y b son números reales cualesquiera que a es igual a b, entonces  raíz  de a elevado a la potencia n es igual  a raíz  de b elevado a la potencia n

 

Ejemplo

3 mas 2 es igual a 4 mas 1

Raíz cuadrada de 3 mas 2 es igual a raíz cuadrada de 4 más 1

Simplificando operaciones tenemos que raíz cuadrada de 5 es igual a raíz cuadrada de 5.

 

 

EN CONCLUSION

 

Resolver una ecuación es calcular el o los valores de la o las incógnitas para que la igualdad sea verdadera.. Para esto se deben tener presente las siguientes propiedades de la igualdad.

 

Propiedad 1: Cuando se suma o resta un número a ambos lados de la igualdad, la igualdad se mantiene.

 

Propiedad 2:  Cuando se multiplica o divide por un mismo número, distinto de cero, en ambos lados de la igualdad, la igualdad se mantiene.

 

Propiedad 3:  Cuando se eleva a una potencia distinta de cero ambos miembros de la igualdad, la igualdad se mantiene.

 

Propiedad 4:  Cuando se extrae la misma raíz, en ambos lados de la igualdad, la igualdad se mantiene.

Estas Propiedades de Igualdad son las que se aplican en la resolución de las ecuaciones, independientemente del tipo de coeficientes numéricos que tenga, en otras palabras, siempre se resuelven las ecuaciones usando los mismos métodos, lo único diferente es la forma en que se realizan las operaciones matemáticas con los números que pertenecen a distintos conjuntos.

 

 

Partes de una ecuacion

Partes de una Ecuación

 

Una ecuación es una declaración matemática donde dos expresiones son iguales. En una ecuación numérica simple, expresiones hechas de números y operaciones aparecen a cada lado del signo igual. El signo igual significa que las dos expresiones tienen el mismo valor. Por ejemplo, 3 + 9 = 12 es una ecuación. La expresión de la izquierda, 3 + 9, tiene el mismo valor que la expresión de la derecha, 12. Se escriben de distintas maneras, pero las dos representan la misma cantidad.

 

Las ecuaciones algebraicas no sólo tienen números, sino también variables, símbolos que representan una cantidad desconocida. Las variables son normalmente letras como x, y, o z. Algunas veces, una variable estará siendo multiplicada por un número. Este número se llama coeficiente  de la variable.

 

Elementos de una ecuación

Miembros: son cada una de las expresiones que aparecen a ambos lados del signo igual.

Términos: son los sumandos que forman los miembros de una ecuación.

Incógnitas: son las letras que aparecen en la ecuación.

Soluciones: son los valores que deben tomar las letras para que la igualdad sea cierta.

MINIMO COMUN MULTIPLO Y MAXIMO COMUN DIVISOR

 

El procedimiento para encontrar tanto el mínimo común múltiplo como el máximo común divisor es similar, descomponer los números en primos y utilizar todos los números que aparecen elevados a una potencia.

Recuerda en el mínimo común múltiplo utilizas los números primos con la potencia mayor. De este modo incluimos TODOS los  números que aparecen en  las descomposiciones.

 

 

Y en el máximo común divisor empleas los números primos con la menor potencia .De este modo incluimos los números que SE REPITEN en las  descomposiciones.

 

Si te confunde cuando usar la mayor o la menor potencia. Piensa que la lógica es cruzada. ¡Para el mínimo utilizas la máxima y para la máxima el mínimo!