Propiedades de los Exponentes


Propiedades de los exponentes

Para poder manejar con facilidad los exponentes y la igualdad es importante que  conozcas las propiedades de los exponentes, ya que te servirán de ayuda para simplificar algunas expresiones y así realizar operaciones de manera más sencilla. Deberás entender primero la teoría, para poder realizar las operaciones de forma razonada y no memorística.

1.     Propiedad del producto.
Un mismo número x al multiplicarse con exponentes diferentes conserva la base y se suman los exponentes:
                                                           X a *  X b = X a + b

Base x elevado a la potencia a multiplicado por base x elevado a la potencia b es igual a base x con una potencia de a mas b.

Ejemplo si substituimos la ecuación de la teoría utilizando X como un número cualquiera tenemos.

 34 ⋅32 = (3⋅3⋅3⋅3 )(3⋅3 )
             = 34+2
                  =36
                  =729
Base 3 potencia 4 por base 3 potencia dos, se mantiene la base y se sumas los exponentes en este caso el resultado sería base 3 exponente igual a la suma de cuatro más dos dando como resultado base tres con exponente a la sexta potencia, si realizamos el desarrollo de la potenciación nuestro resultado es setecientos veinte nueve

 2. Propiedad de la potencia de una potencia.
Un exponente de un número x elevado a otro exponente, es igual a la multiplicación de ambos exponentes:

                                                   ( X a )b = x ab

Ejemplo: (25)2 = (2⋅2⋅2⋅2⋅2)2 = (2⋅2⋅2⋅2⋅2) (2⋅2⋅2⋅2⋅2)=25⋅2 =210 =1024

Tenemos base dos elevado a la quinta potencia  elevado al cuadrado, aplicando la propiedad de la potencia de una potencia el resultado lo obtendríamos multiplicando ambos exponentes en este caso mantenemos la base dos y multiplicamos cinco por dos. Nuestro resultado es base dos exponente diez si realizamos el desarrollo de la potenciación el resultado es mil veinticuatro.

3. Propiedad del producto de dos números elevados a una misma potencia.
La multiplicación de dos números elevados a la misma potencia es igual a la multiplicación de esos números elevada a la potencia común:

                                                     X a ⋅Ya =  ( X⋅ Y)a

Ejemplo: Si multiplicamos una potencia de base cuatro y exponente tres por otra potencia de base tres con exponente tres nuestro resultado se obtiene de multiplicar las bases y elevar el resultado a la potencia que es la misma para ambas, en este caso nuestro resultado sería base doce potencia tres
43⋅33 = (4⋅4⋅4) (3⋅3⋅3)
          =4⋅4⋅4⋅3⋅3⋅3
           =4⋅3⋅4⋅3⋅4⋅3
           = (4⋅3)(4⋅3  )(4⋅3)
            =12⋅12⋅12
            =123
            =1728

 4. Propiedad del cociente de dos potencias (donde x ≠ 0).
La división de dos potencias con la misma base, es lo mismo que la base, elevada a la resta de los exponentes:

 X 5
 X3  = x5−3 = x2.

 Ejemplo:      
                  95
                            9 3 =92 = 81.

Si dividimos nueve elevado a la quinta potencia entre nueve elevado a la tercera potencia, nuestro resultado mantiene la base y el exponente se obtiene de restar  ambos exponentes, en este caso cinco menos tres, el resultado de nuestra división de potencias es base nueve exponente dos.

 5. Propiedad de la potencia de un cociente (donde y ≠ 0).
Una fracción en la que el numerador está elevado a una potencia y el denominador está elevado a la misma potencia, es lo mismo que la fracción elevada a esa potencia.
 

 

 
 
 
6.Propiedad de la potencia cero.
 Todo número elevado a la potencia cero es igual a uno: x0 =1;

Ejemplo una potencia de base ocho elevado a un exponente cero es igual a uno: 80 =1

Esto se deduce de la propiedad 4. Si tenemos el cociente de una potencia con la misma base y también con el mismo exponente, sucede lo siguiente.

 
  Si dividimos una potencia de base ocho con exponente tres entre una potencia de base ocho con exponente tres nuestro resultado es 1. Si desarrollamos la potencia tendríamos que nuestra división es 512 entre 512 dando como resultado 1.

Por otro lado de acuerdo con la propiedad 4 tenemos  que una potencia base ocho exponente tres multiplicada por una potencia base ocho exponente menos tres es igual a una potencia base 8 exponente cero que es igual a uno.

                                                     83⋅8−3 =80 =1

  7. Propiedad de la potencia uno. Todo número elevado a la potencia uno es igual a sí mismo:

                                                           X1 = X        

Ejemplo, una potencia de base siete con exponente uno es igual a siete.
                                                            71 =7

 

8. Propiedad del reciproco o inverso: Todo número elevado a la potencia -n es igual al inverso de ese número a la potencia n:
                                                         
 
Recuerda para encontrar el reciproco de un numero solo tienes que dividirlo entre 1
ejemplo el reciproco de 2 es 1/2,
y el de 5 es 1/5 

 
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