Orden de la operaciones

El orden de las operaciones especifica el orden en el cual se realizan las operaciones en una expresión o ecuación.

Hay cuatro pasos que se deben seguir en orden.

-primero ejecutar todos los cálculos que están adentro de los paréntesis
-segundo resolver todos los exponentes en la expresión
-tercero realizar todas las multiplicaciones y divisiones en secuencia ,de  izquierda a derecha.
-cuarto, efectuar todas las sumas y restas también empezando desde el lado izquierdo de la expresión.


para facilitar el recordar estos pasos puedes utilizar la palabra PEMDAS, que significa lo siguiente


P   DE PARENTESIS PRIMERO
E   DE EXPONENTES
M  DE MULTIPLICACION
D   DE DIVISION
A   DE ADICION O SUMA
S    DE SUSTRACCION O RESTA.

RADICACION

RADICACION

Operación inversa de la potencia, que es la raíz.

 

Esto significa que si 

cinco al cuadrado es igual a 25,la raíz cuadrada de 25 es 5

 

otro ejemplo

 tres elevado a la cuarta potencia es igual a 81

y la raíz elevada a una cuarta potencia de 81 es 3.

 

 Las raíces cuadradas de números enteros tienen dos posibles resultados, el valor positivo y el negativo.

 

Por ejemplo, existen dos números enteros que   satisfacen que su cuadrado sea igual a 16, el 4 y el –4, para resolver esto se utilizan las propiedades de la radicación.

PROPIEDADES DE LA RADICACION 

Primera propiedad . Para n par, no esta definida si x menor 0, es decir, si x es negativo.

 

                                                                                                                                 ⁿ√ -x

 

Es decir que no existe ningún número que al multiplicarse por sí mismo un número par de

veces dé como resultado un número negativo, debido a que al multiplicar un

número por sí mismo, sea este negativo o positivo, el resultado siempre es

positivo. 

 

 RECUERDA LAS LEYES DE LOS SIGNOS

 ejemplo

                                                                             ⁴√ -625

raíz cuadrada de -625 elevado a una cuarta potencia, si lo representamos con el radical quedaría de la siguiente forma

                                                                                                                       

como superíndice a la izquierda superior del radical el numero 4 y dentro de la "casita de la raíz cuadrada" el numero menos 625.

 

Quiere decir que para resolverlo necesitamos encontrar un numero que multiplicado por si mismo cuatro veces nos de el resultado de menos 625.

 

En este caso n es par (4) y x es negativa (-625) ,una aparente solución seria  5,pero si substituimos y usamos las leyes de los signos el resultado obtenido es diferente de los que buscamos.

 5 x 5 x  5x  5 =625 

-5  x-5  x-5  x-5 =625

 

Propiedad dos. las raíces del cero con iguales a cero para cualquier n.

cualquier raíz del numero cero elevado a cualquier potencia siempre será cero pues el cero no contiene nada, por esto no hay operación que podamos realizar con el.

 

 

Propiedad tres las raíces impares de números positivos son positivas.

 

Si el numero al que estoy elevando mi raíz es impar y el numero es positivo mi resultado será positiva

ejemplo

                                                                  

³√ 27

obtener la raíz  de 27 elevado a una tercera potencia, debo encontrar un numero que multiplicado tres veces por si mismo me de el numero 27.

 

 Aquí primero verifico que el numero al que estoy elevando mi raíz es impar y el numero es positivo ,usando la propiedad deduzco que mi resultado será positivo.

mi resultado es 3,pues 3x3x3= 27.

 Propiedad cuatro. las raíces impares de números negativos son negativas.

 

si el numero al que estoy elevando mi raíz es impar y el numero es negativo mi resultado será negativo. ejemplo

 

obtener la  raíz del numero menos veintisiete elevado a una tercera potencia.

³√-27

debo encontrar un numero que multiplicado por si miso tres veces me de -27.

Aquí primero verifico que el numero al que estoy elevando mi raíz es impar (3) y e numero es negativo -27,usando la propiedad deduzco que mi resultado será negativo-

mi resultado es -3x-3x-3=-27

 

Video Algoritmo raiz cuadrada

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Es la operación inversa a la potenciación

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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Casos especiales

POTENCIAS CON BASE NEGATIVA

Para determinar su signo...

las potencias pares dan resultado positivos
las potencias impares dan resultados negativos


POTENCIAS CON BASE 10

Cuando la base es 10 y lleva un exponente cualquiera escribes el 1 y después tantos ceros como te indica el exponente.

ejemplo

 10 elevado a la quinta potencia es igual a 100 000
 10 elevado al cubo es igual a colocar el 1 y agregar 3 ceros es decir 1000.

Propiedades de los Exponentes

Propiedades de los exponentes

Para poder manejar con facilidad los exponentes y la igualdad es importante que  conozcas las propiedades de los exponentes, ya que te servirán de ayuda para simplificar algunas expresiones y así realizar operaciones de manera más sencilla. Deberás entender primero la teoría, para poder realizar las operaciones de forma razonada y no memorística.

1.     Propiedad del producto.
Un mismo número x al multiplicarse con exponentes diferentes conserva la base y se suman los exponentes:
                                                           X ^a *  X ^b = X ^a + ^b

Base x elevado a la potencia a multiplicado por base x elevado a la potencia b es igual a base x con una potencia de a mas b.

Ejemplo si substituimos la ecuación de la teoría utilizando X como un número cualquiera tenemos.

 3⁴ ⋅3² = (3⋅3⋅3⋅3 )(3⋅3 )
             = 3⁴⁺²
                  =3⁶
                  =729

Base 3 potencia 4 por base 3 potencia dos, se mantiene la base y se sumas los exponentes en este caso el resultado sería base 3 exponente igual a la suma de cuatro más dos dando como resultado base tres con exponente a la sexta potencia, si realizamos el desarrollo de la potenciación nuestro resultado es setecientos veinte nueve

 2. Propiedad de la potencia de una potencia.

Un exponente de un número x elevado a otro exponente, es igual a la multiplicación de ambos exponentes:

                                                   ( X ^a )^b = x ^ab

Ejemplo: (2⁵)² = (2⋅2⋅2⋅2⋅2)² = (2⋅2⋅2⋅2⋅2) (2⋅2⋅2⋅2⋅2)=2^5⋅2 =2¹⁰ =1024

Tenemos base dos elevado a la quinta potencia  elevado al cuadrado, aplicando la propiedad de la potencia de una potencia el resultado lo obtendríamos multiplicando ambos exponentes en este caso mantenemos la base dos y multiplicamos cinco por dos. Nuestro resultado es base dos exponente diez si realizamos el desarrollo de la potenciación el resultado es mil veinticuatro.

3. Propiedad del producto de dos números elevados a una misma potencia.

La multiplicación de dos números elevados a la misma potencia es igual a la multiplicación de esos números elevada a la potencia común:

                                                     X ^a ⋅Y^a =  ( X⋅ Y)^a

Ejemplo: Si multiplicamos una potencia de base cuatro y exponente tres por otra potencia de base tres con exponente tres nuestro resultado se obtiene de multiplicar las bases y elevar el resultado a la potencia que es la misma para ambas, en este caso nuestro resultado sería base doce potencia tres

4³⋅3³ = (4⋅4⋅4) (3⋅3⋅3)

          =4⋅4⋅4⋅3⋅3⋅3

           =4⋅3⋅4⋅3⋅4⋅3

           = (4⋅3)(4⋅3  )(4⋅3)

            =12⋅12⋅12

            =12³

            =1728

 4. Propiedad del cociente de dos potencias (donde x ≠ 0).

La división de dos potencias con la misma base, es lo mismo que la base, elevada a la resta de los exponentes:

 X ⁵

 X³  = x⁵⁻³ = x^2.

 Ejemplo:      
                  9⁵
                            9 ³ =9² = 81.

Si dividimos nueve elevado a la quinta potencia entre nueve elevado a la tercera potencia, nuestro resultado mantiene la base y el exponente se obtiene de restar  ambos exponentes, en este caso cinco menos tres, el resultado de nuestra división de potencias es base nueve exponente dos.

 5. Propiedad de la potencia de un cociente (donde y ≠ 0).

Una fracción en la que el numerador está elevado a una potencia y el denominador está elevado a la misma potencia, es lo mismo que la fracción elevada a esa potencia.

 

 

 

 

 

6.Propiedad de la potencia cero.

 Todo número elevado a la potencia cero es igual a uno: x⁰ =1;

Ejemplo una potencia de base ocho elevado a un exponente cero es igual a uno: 8⁰ =1

Esto se deduce de la propiedad 4. Si tenemos el cociente de una potencia con la misma base y también con el mismo exponente, sucede lo siguiente.

 

  Si dividimos una potencia de base ocho con exponente tres entre una potencia de base ocho con exponente tres nuestro resultado es 1. Si desarrollamos la potencia tendríamos que nuestra división es 512 entre 512 dando como resultado 1.

Por otro lado de acuerdo con la propiedad 4 tenemos  que una potencia base ocho exponente tres multiplicada por una potencia base ocho exponente menos tres es igual a una potencia base 8 exponente cero que es igual a uno.

                                                     8³⋅8⁻³ =8⁰ =1

  7. Propiedad de la potencia uno. Todo número elevado a la potencia uno es igual a sí mismo:

                                                           X¹ = X        

Ejemplo, una potencia de base siete con exponente uno es igual a siete.

                                                            7¹ =7

 

8. Propiedad del reciproco o inverso: Todo número elevado a la potencia -n es igual al inverso de ese número a la potencia n:

                                                         

 

Recuerda para encontrar el reciproco de un numero solo tienes que dividirlo entre 1

ejemplo el reciproco de 2 es 1/2,

y el de 5 es 1/5 

 

Potenciacion

Potenciación

Resultado que se obtiene al multiplicar un numero 2 o más veces por sí mismo.

Potencia dos o al cuadrado, de un numero se obtiene al multiplicarlo por si mismo y se denota escribiendo un dos pequeño en la parte superior derecha de dicho número.

 Ejemplo

5 al cuadrado =5² = 5 x 5 = 25

Tercera potencia o cubo, se obtiene multiplicando un número por sí mismo, el resultado de nuevo por el mismo número original y así sucesivamente para las potencias que sigan.

base cinco exponente tres= 5³=5 x 5 x 5=25 x 5 =125

RECUERDA

El número pequeño colocado en  la parte superior, que identifica la potencia recibe el nombre de exponente; el número que multiplicamos por si mismo el de base.

Imagen que señala las partes de una potencia

Ejemplos: 

=2 ⁵ 
=base dos exponente cinco

=  2 · 2 · 2 · 2 · 2 
=  32

  El exponente es 5, esto  significa que la base, el 2, se debe multiplicar por sí misma cinco veces.

3 ² 
=base tres exponente dos
=3 · 3 
=  9

El exponente es 2, esto significa que la base 3 se debe multiplicar por sí misma dos veces.

5 ⁴
=base cinco exponente 
=  5 · 5 · 5 · 5
=  625

El exponente es 4, esto significa que la base (5) se debe multiplicar por sí misma cuatro veces.

                  EN EL CASO DE POTENCIAS CON BASE NEGATIVA RECUERDA

POTENCIAS PARES DAN RESULTADOS POSITIVOS

POTENCIAS IMPARES DAN RESULTADO NEGATIVO

Leyes de los signos

LEYES DE LOS SIGNOS

Es utilizada para el conjunto de los números reales, también es una introducción al algebra.

La suma o adición de dos números de igual signo se realiza sumando sus valores absolutos y poniendo al resultado el signo común. Por ejemplo:

 3+7=10  
Tres mas siete igual al resultado diez

 −4−9=−13
Menos cuatro menos nueve igual al resultado menos trece

El signo + (mas) puede omitirse en los números positivos cuando se encuentran al  inicio, como con los casos del tres y el diez del primer ejemplo anterior. Cuando sumamos un número negativo debemos colocar siempre el signo menos, como en -4 y -9 del segundo ejemplo anterior. (–4 –9 = –13).

La suma o adición de dos números con signo diferente se realiza efectuando  una resta de los valores absolutos de ambos números y al resultado se le  antepone el signo del número que tenga mayor valor absoluto.

8+−15=8−15=−7
ocho mas menos quince igual a ocho menos quince igual al resultado de  menos siete

−4+10=6
menos cuatro mas diez igual a seis

21+−16=21−16=5 

veintiuno mas menos dieciséis igual a veintiuno menos dieciséis igual al resultado de  cinco

 La resta o sustracción puede expresarse en términos de la suma, puesto que, en general, podemos verla como una suma de números con signo diferente, como en el último de los ejemplos anteriores, que puede verse como la suma de dos enteros 21 y – 16; o como la resta de dos naturales, 21 y 16 = 5.

Observa que esta última es la resta que ya conoces, 21−16=5.

Ahora bien, la operación de restar un número negativo será equivalente a la de Sumar un número positivo (– – = +).

14−−9 = 14+9 =23
catorce menos nueve igual a catorce mas nueve resultado veintitrés

 6−−5 = 6+5 =11

EN CONCLUSION

AL SUMAR Y RESTAR NUMEROS REALES  ,

SIGNOS IGUALES SE SUMAN

+     + = +

-          -   =   +

SIGNOS DIFERENTES SE RESTAN

+    -   =   -

-           + =  -

 MULTIPLICACION   Y  DIVISION

La multiplicación o producto de dos números reales de igual signo siempre dará como resultado un número positivo.

( + ) ( + ) = +
mas por mas resultado positivo 

( − ) ( − ) = +
menos por menos igual a resultado positivo

( 6 ) ( 8 ) = 48
seis por ocho igual a cuarenta  y ocho 

( −7) ( −3 ) = 21
menos siete por menos tres igual a veintiuno

La multiplicación o producto de dos números reales de distinto signo dará como

Resultado un número negativo.

( + ) ( − ) = −
mas por menos da resultado negativo

( − ) ( + ) = −
menos por mas resultado negativo

( 5 ) ( −7 ) = −35
cinco por menos siete igual menos treinta y cinco

(−9 ) ( 6 ) = −54
menos nueve por seis igual a  menos cincuenta y cuatro

División

Al realizar una división la ley de los signos se aplica del siguiente modo.

positivo entre positivo da un resultado positivo

negativo entre negativo da un resultado positivo

positivo entre negativo da un resultado negativo

negativo entre positivo da un resultado  negativo

EN CONCLUSION

En la multiplicación y la división 

Los signos iguales dan un resultado positivo y los

Signos diferentes dan resultado negativo.

RECUERDA

SIGNOS IGUALES SE SUMAN(O DAN RESULTADOS POSITIVOS)

SIGNOS DIFERENTES RESTAN (O DAN RESULTADOS NEGATIVOS)